O problema multicritério
Há \(m\) alternativas e \(n\) critérios. A informação disponível forma a matriz de decisão \(X = [x_{ij}]\), em que \(x_{ij}\) é o desempenho da alternativa \(i\) no critério \(j\). Cada critério tem um sentido: de benefício, quando quanto maior melhor (redução de sinistros, aceitação), ou de custo, quando quanto menor melhor (custo de implantação, prazo).
Todo método multicritério responde, de algum jeito, a três perguntas: como tornar critérios em unidades diferentes comparáveis (normalização), quanto cada critério importa (pesos) e como combinar tudo numa nota por alternativa (agregação). As técnicas desta página diferem quase só na segunda pergunta, mas a primeira tem consequências que costumam passar despercebidas.
Na prática, a própria matriz \(X\) é incerta. Uma medição pode vir de duas bases que discordam; uma nota pode vir de seis pessoas com critérios pessoais diferentes. O ranking final só é tão firme quanto essas entradas, e é por isso que a página trata também de fusão de fontes, de avaliadores e de propagação de incerteza.
Escalas de medida
Stevens (1946) classificou as escalas pelo tipo de transformação que preserva seu significado. Isso decide quais contas fazem sentido.
| Escala | Transformação permitida | Exemplos | Razões fazem sentido? |
|---|---|---|---|
| Ordinal | qualquer função crescente | ranking, Likert, nota 1 a 9 sem âncora | Não |
| Intervalar | \(x \mapsto a x + b\), com \(a>0\) | temperatura em °C, notas com intervalos iguais | Não |
| Razão | \(x \mapsto a x\), com \(a>0\) | R$, metros, minutos, contagens, % | Sim |
A diferença crítica é a existência de um zero verdadeiro. Em reais, R$ 20 milhões é o dobro de R$ 10 milhões, qualquer que seja a unidade. Numa nota de 1 a 9, dizer que 6 é o dobro de 3 depende de uma escolha arbitrária: se a mesma escala fosse numerada de 11 a 19, as notas seriam 16 e 13, e a razão viraria 1,23.
Normalização
Por soma
Cada valor é dividido pela soma da coluna. Para critérios de custo, usa-se o inverso:
$$\begin{gathered} n_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sum_{i} x_{ij}} \quad\text{(benefício)} \\[4pt] n_{ij} = \frac{1/x_{ij}}{\sum_{i} 1/x_{ij}} \quad\text{(custo)} \end{gathered}$$As colunas passam a somar 1 e cada \(n_{ij}\) se lê como participação da alternativa no total do critério. A operação é invariante a mudança de unidade (multiplicar por \(a\)), mas não a deslocamento (somar \(b\)). Exige valores positivos. O inverso para custos também tem um efeito pouco intuitivo: diferenças entre valores pequenos pesam muito mais que entre valores grandes, porque \(1/x\) é muito curvo perto de zero.
Mín-máx
$$\begin{gathered} z_{ij} = \frac{x_{ij} - \min_i x_{ij}}{\max_i x_{ij} - \min_i x_{ij}} \quad\text{(benefício)} \\[4pt] z_{ij} = \frac{\max_i x_{ij} - x_{ij}}{\max_i x_{ij} - \min_i x_{ij}} \quad\text{(custo)} \end{gathered}$$A pior alternativa recebe 0 e a melhor, 1. Substituindo \(x\) por \(a x + b\), com \(a>0\), os termos \(b\) se cancelam e \(a\) sai da fração: a normalização mín-máx é invariante a qualquer transformação afim crescente. Por isso serve para escalas intervalares. O preço é depender das alternativas presentes: incluir uma alternativa muito pior muda a escala de todas as outras.
Pesos subjetivos e objetivos
Pesos subjetivos vêm do julgamento do decisor: o quanto cada critério importa para o objetivo. Pesos objetivos vêm dos próprios dados: o quanto cada critério separa as alternativas. São respostas a perguntas diferentes.
Um critério pode ser crucial para o decisor e receber peso objetivo quase nulo porque todas as alternativas têm desempenho parecido nele. Nesse caso, o peso baixo não está errado: aquele critério realmente não ajuda a escolher entre estas alternativas. Mas o peso objetivo não diz nada sobre prioridades técnicas, políticas ou sociais.
Métodos objetivos são úteis quando não há um decisor legítimo para arbitrar prioridades, quando se quer uma referência neutra para confrontar com pesos negociados, ou em análise exploratória. É comum combinar os dois, multiplicando o peso subjetivo pelo objetivo e renormalizando.
AHP clássico
O Analytic Hierarchy Process de Saaty (1977, 1980) organiza o problema numa hierarquia (objetivo, critérios, alternativas) e obtém prioridades a partir de comparações par a par. Para \(n\) critérios, o decisor preenche a matriz recíproca \(A = [a_{jk}]\), em que \(a_{jk}\) diz quantas vezes o critério \(j\) é mais importante que \(k\), com \(a_{kj} = 1/a_{jk}\) e \(a_{jj}=1\).
| Valor | Significado |
|---|---|
| 1 | igual importância |
| 3 | importância moderada |
| 5 | importância forte |
| 7 | importância muito forte |
| 9 | importância extrema |
| 2, 4, 6, 8 | valores intermediários |
Pesos e consistência
Se os julgamentos fossem perfeitamente consistentes, \(a_{jk} = w_j / w_k\) e \(A w = n\, w\). Com julgamentos reais, os pesos são o autovetor principal:
$$A\,w = \lambda_{\max}\, w, \qquad \lambda_{\max} \ge n.$$Quanto mais \(\lambda_{\max}\) se afasta de \(n\), mais inconsistentes os julgamentos. Saaty define o índice de consistência e o compara com o índice médio de matrizes aleatórias (RI):
$$CI = \frac{\lambda_{\max} - n}{n - 1}, \qquad CR = \frac{CI}{RI_n}.$$A regra usual aceita \(CR \le 0{,}10\). Uma aproximação prática do autovetor é a média geométrica de cada linha, normalizada; ela coincide com o autovetor em matrizes consistentes. O site usa iteração de potência; a planilha usa a média geométrica.
Vários avaliadores
Forman e Peniwati (1998) mostram que, quando o grupo age como uma unidade, a agregação correta é a média geométrica dos julgamentos individuais, elemento a elemento:
$$a^{G}_{jk} = \Big(\prod_{e=1}^{E} a^{(e)}_{jk}\Big)^{1/E}.$$A média geométrica preserva a reciprocidade (\(a^G_{kj} = 1/a^G_{jk}\)); a aritmética não. Quando cada avaliador age por conta própria, agregam-se as prioridades finais em vez dos julgamentos.
Limitações
O número de comparações cresce com \(n(n-1)/2\) por matriz. A escala 1 a 9 impõe um teto de razão 9 e trata números verbais como razões exatas. E o AHP pode sofrer inversão de ranking: acrescentar uma alternativa irrelevante pode trocar a ordem das outras (Belton e Gear, 1983).
AHP Gaussiano
Proposto por dos Santos, Costa e Gomes (2021), o AHP Gaussiano dispensa as comparações par a par entre critérios. Os pesos saem da dispersão de cada critério na matriz normalizada por soma:
$$\begin{gathered} \mu_j = \frac{1}{m}\sum_{i} n_{ij} \\[4pt] \sigma_j = \sqrt{\frac{1}{m}\sum_{i}(n_{ij} - \mu_j)^2} \\[4pt] w_j = \frac{\sigma_j/\mu_j}{\sum_{k} \sigma_k/\mu_k} \end{gathered}$$O fator \(\sigma_j/\mu_j\) é o coeficiente de variação. Como cada coluna normalizada soma 1, \(\mu_j = 1/m\) para todos os critérios, e o peso fica proporcional a \(\sigma_j\): critérios em que as alternativas diferem mais recebem mais peso; um critério com valores iguais recebe peso zero. A pontuação final é a soma ponderada \(S_i = \sum_j w_j n_{ij}\).
Quando usar
Quando todos os critérios estão em escala de razão, quando não há decisor para arbitrar prioridades e quando os critérios não são redundantes entre si.
Cuidados
O coeficiente de variação não é invariante a deslocamento: \(\mathrm{CV}(x + k) = \sigma/(\mu + k)\). Somar 10 a todas as notas de um critério reduz seu peso sem mudar nada da realidade. O método também não enxerga correlação: dois critérios que medem quase a mesma coisa entram duas vezes. Por fim, ruído de medição infla \(\sigma\), e um critério mal medido acaba com peso maior do que merece. A aba Recodificacao da planilha mostra o primeiro efeito com números.
Entropia de Shannon
A entropia mede o quão uniforme é uma distribuição (Shannon, 1948). Aplicada à matriz normalizada por soma, \(p_{ij} = n_{ij}\), ela diz o quanto um critério se aproxima de dar a mesma participação a todas as alternativas (Hwang e Yoon, 1981):
$$\begin{gathered} e_j = -\frac{1}{\ln m}\sum_{i} p_{ij}\ln p_{ij} \\[4pt] d_j = 1 - e_j, \qquad w_j = \frac{d_j}{\sum_k d_k} \end{gathered}$$O fator \(1/\ln m\) leva \(e_j\) ao intervalo de 0 a 1. Um critério perfeitamente uniforme tem \(e_j = 1\) e peso zero. A lógica é a mesma do AHP Gaussiano, com outra medida de dispersão, e os mesmos cuidados valem: depende da origem da escala e ignora redundância. Na prática, a entropia tende a concentrar peso nos critérios com uma alternativa muito destacada.
CRITIC
O método CRITIC (Criteria Importance Through Intercriteria Correlation; Diakoulaki, Mavrotas e Papayannakis, 1995) combina duas ideias: um critério informa mais quando varia muito e quando não repete o que outros critérios já dizem. Sobre a matriz mín-máx \(Z\):
$$C_j = \sigma_j \sum_{k=1}^{n} \big(1 - r_{jk}\big), \qquad w_j = \frac{C_j}{\sum_k C_k},$$em que \(\sigma_j\) é o desvio-padrão da coluna \(j\) de \(Z\) e \(r_{jk}\) é a correlação de Pearson entre as colunas \(j\) e \(k\). Um critério muito correlacionado com os demais tem \(\sum_k (1 - r_{jk})\) pequeno e perde peso.
Por que ele resolve o problema das notas
A normalização mín-máx é invariante a transformações afins, e a correlação de Pearson também. Logo, todo o CRITIC é invariante a deslocar ou esticar a escala de um critério. Isso o torna adequado para notas de avaliadores e para matrizes mistas. Com poucas alternativas, porém, as correlações são instáveis: com 4 alternativas, um \(r\) de 0,8 pode surgir por acaso.
Soma ponderada
Todos os métodos aqui terminam na soma ponderada (SAW, simple additive weighting):
$$S_i = \sum_{j=1}^{n} w_j\, \tilde{x}_{ij},$$com \(\tilde{x}\) normalizada por soma ou mín-máx. A soma ponderada é compensatória: um desempenho muito ruim num critério pode ser compensado por desempenho bom em outros. Se algum critério tiver limite inaceitável (uma restrição ambiental, por exemplo), elimine as alternativas que o violam antes do cálculo, em vez de confiar no peso.
Pesos e normalização andam juntos. O peso de um critério só tem significado em relação à escala normalizada a que se aplica; o mesmo vetor de pesos produz rankings diferentes com soma e com mín-máx.
Avaliadores humanos
Severidade
Cada pessoa usa a escala de um jeito: algumas dão notas sistematicamente mais altas, outras mais baixas. Um modelo simples separa o que é da alternativa e o que é do avaliador:
$$y_{ijr} = \theta_{ij} + b_r + \varepsilon_{ijr},$$em que \(\theta_{ij}\) é o valor verdadeiro da célula, \(b_r\) é a severidade do avaliador \(r\) e \(\varepsilon\) é ruído. A correção usada no site e na planilha estima \(b_r\) pela diferença entre a média do avaliador e a média geral:
$$\tilde{y}_{ijr} = y_{ijr} - \bar{y}_{r} + \bar{y}.$$A versão padronizada também iguala a dispersão: \(\tilde{y} = (y - \bar{y}_r)/s_r \cdot s + \bar{y}\). Ambas supõem que todos avaliaram o mesmo conjunto de alternativas; com delineamentos incompletos, um modelo de efeitos aleatórios ou o modelo de Rasch multifacetas (Linacre, 1989) estima \(b_r\) de forma consistente.
Agregação
A mediana resiste a um avaliador extremo e não exige que a escala seja intervalar. A média aproveita melhor a informação quando não há extremos. A média geométrica é a escolha natural para julgamentos de razão, como no AHP.
Independência
A redução de incerteza ao juntar avaliadores supõe erros independentes. Avaliadores que discutiram antes de dar a nota tendem a convergir por influência mútua, e seis notas assim valem menos que seis independentes. O método Delphi (Dalkey e Helmer, 1963) organiza rodadas anônimas justamente para preservar essa independência.
Fusão de fontes e filtro de Kalman
Quando duas ou mais fontes medem a mesma grandeza, cada uma com erro-padrão \(\sigma_k\), a estimativa de mínima variância entre as combinações lineares não viesadas é a média ponderada pelo inverso da variância:
$$\hat{x} = \frac{\sum_k x_k/\sigma_k^2}{\sum_k 1/\sigma_k^2}, \qquad \mathrm{Var}(\hat{x}) = \frac{1}{\sum_k 1/\sigma_k^2}.$$A variância da estimativa fundida é sempre menor que a da melhor fonte isolada.
Relação com o filtro de Kalman
O filtro de Kalman (Kalman, 1960) alterna predição, feita por um modelo dinâmico, e atualização com cada nova medição. Sem dinâmica, sobra só a atualização. Partindo de uma estimativa \(\hat{x}^{-}\) com variância \(P^{-}\) e recebendo uma medição \(z\) com variância \(R\):
$$\begin{gathered} K = \frac{P^{-}}{P^{-} + R} \\[4pt] \hat{x} = \hat{x}^{-} + K\,(z - \hat{x}^{-}), \qquad P = (1 - K)\,P^{-} \end{gathered}$$Substituindo \(K\), obtém-se exatamente a média ponderada pelo inverso da variância de \(\hat{x}^{-}\) e \(z\). Aplicar uma atualização para cada fonte dá o mesmo resultado da fórmula acima. O filtro completo só acrescenta algo quando há série temporal: aí ele também preenche lacunas e suaviza ao longo do tempo.
Quando o sigma não é conhecido
Se cada fonte cobre várias células, seu erro pode ser estimado pela discordância com as demais. Com duas fontes de erros semelhantes, a diferença entre elas tem variância \(2\sigma^2\), daí a estimativa \(\hat{\sigma}_s^2 \approx \tfrac{1}{2}\,\overline{(x_s - \bar{x}_{\text{outras}})^2}\) usada no site. É uma aproximação grosseira; um sigma informado pela própria fonte é sempre melhor.
Monte Carlo e bootstrap
Um ranking pontual esconde o quanto ele depende das entradas. O Monte Carlo refaz o cálculo inteiro \(B\) vezes, cada vez com entradas sorteadas, e resume a distribuição dos resultados. A pergunta mais útil que ele responde é a probabilidade de cada alternativa ocupar cada posição:
$$\hat{P}(\text{posição}_i = p) = \frac{1}{B}\sum_{b=1}^{B} \mathbf{1}\big[\text{posição}^{(b)}_i = p\big].$$Em cada rodada, o site faz duas coisas. Para as medições, sorteia cada célula de uma normal com a média fundida e o erro-padrão da fusão. Para as notas, reamostra os avaliadores com reposição (bootstrap; Efron e Tibshirani, 1993): sorteia \(R\) avaliadores entre os \(R\) disponíveis, alguns repetidos e outros ausentes, e recalcula as medianas. Os mesmos avaliadores sorteados valem para todas as células da rodada, preservando a estrutura de cada pessoa. Nos métodos objetivos, os pesos também são recalculados a cada rodada, porque dependem da matriz.
Limites
O bootstrap trata os avaliadores observados como a população. Com poucos avaliadores, digamos menos de oito, a variabilidade entre reamostras é menor que a verdadeira, e as faixas saem estreitas demais. Um modelo hierárquico bayesiano, que estima a variância entre avaliadores com uma distribuição a priori, é a alternativa mais honesta nesses casos. Já a normal para medições pode gerar valores negativos quando o erro é grande em relação à média; o site os ajusta para um mínimo positivo e avisa.
Fixar a semente aleatória torna o resultado reprodutível. Com 2.000 rodadas, o erro de Monte Carlo numa probabilidade de 50% é de cerca de 1 ponto percentual.
Teste de recodificação
Se uma escala não tem zero verdadeiro, qualquer deslocamento dela é tão legítimo quanto a original. Um método adequado deve dar o mesmo ranking com qualquer um deles. O teste refaz o cálculo pontual com três versões das escalas sem zero real: como estão, com 10 somado a todas as notas e com o menor valor observado levado a 0,1.
Com CRITIC e mín-máx, o resultado não muda, por construção. Com AHP Gaussiano, entropia ou normalização por soma, o ranking pode mudar; quando muda, ele dependia de uma convenção arbitrária, não dos dados.
Como o fluxograma decide
| Situação | Recomendação | Motivo |
|---|---|---|
| Avaliadores comparam alternativas aos pares | AHP clássico com agregação geométrica | O dado já é uma matriz de razões; agrega-se como Forman e Peniwati |
| Decisor compara critérios aos pares | AHP nos pesos | Permite medir consistência |
| Decisor distribui pesos | Pesos informados | Transparente e direto |
| Pesos objetivos, há notas ou escalas ordinais | CRITIC com mín-máx | Invariante a deslocamentos da escala |
| Pesos objetivos, tudo em razão, critérios redundantes | CRITIC | Desconta a informação repetida |
| Pesos objetivos, tudo em razão, critérios independentes | AHP Gaussiano | Simples e adequado ao caso |
| Há incerteza nas entradas | Monte Carlo com bootstrap | Mostra a estabilidade do ranking |
Sempre que há avaliadores, o fluxograma acrescenta a correção de severidade e a agregação pela mediana; sempre que há medições, a fusão pelo inverso da variância.
O exemplo, método a método
O exemplo misto compara quatro tratamentos para um cruzamento: viaduto, trincheira, rotatória e semáforo adaptativo. Três critérios são medidos (custo, redução esperada de sinistros e prazo, os dois primeiros com duas fontes cada) e dois são avaliados por seis pessoas (aceitação da vizinhança e conforto do pedestre). A planilha reproduz cada conta; os valores abaixo saem dela.
| Critério | AHP Gaussiano | Entropia | CRITIC |
|---|---|---|---|
| Custo de implantação | 41,4% | 58,4% | 16,9% |
| Redução de sinistros | 8,7% | 3,2% | 37,3% |
| Prazo de obra | 28,8% | 29,3% | 16,6% |
| Aceitação da vizinhança | 9,8% | 4,1% | 13,7% |
| Conforto do pedestre | 11,3% | 5,0% | 15,5% |
| Primeiro colocado | Semáforo | Semáforo | Rotatória |
A diferença vem quase toda da normalização do custo. Na normalização por soma, o custo entra como \(1/x\), e o semáforo, com custo fundido de cerca de R$ 3 milhões contra R$ 14 a 63 milhões das demais, fica com 75% da coluna. A dispersão desse critério explode, e ele domina os pesos do AHP Gaussiano e da entropia. No CRITIC, com mín-máx, o semáforo recebe 1 e a rotatória 0,81 no mesmo critério; a vantagem do semáforo encolhe, e a redução de sinistros passa a pesar mais.
Nenhum dos resultados está errado em termos aritméticos. Eles respondem a perguntas diferentes, e a escolha do método é uma decisão de modelagem que precisa ser justificada. O Monte Carlo com CRITIC põe a rotatória em primeiro em cerca de três de cada quatro rodadas e o semáforo nas demais: a disputa entre os dois segue aberta.
Referências
- Belton, V.; Gear, T. (1983). On a short-coming of Saaty's method of analytic hierarchies. Omega, 11(3), 228–230.
- Dalkey, N.; Helmer, O. (1963). An experimental application of the Delphi method to the use of experts. Management Science, 9(3), 458–467.
- Diakoulaki, D.; Mavrotas, G.; Papayannakis, L. (1995). Determining objective weights in multiple criteria problems: the CRITIC method. Computers & Operations Research, 22(7), 763–770.
- dos Santos, M.; Costa, I. P. A.; Gomes, C. F. S. (2021). Multicriteria decision-making in the selection of warships: a new approach to the AHP method. International Journal of the Analytic Hierarchy Process, 13(1). doi:10.13033/ijahp.v13i1.833.
- Efron, B.; Tibshirani, R. J. (1993). An Introduction to the Bootstrap. Chapman & Hall.
- Forman, E.; Peniwati, K. (1998). Aggregating individual judgments and priorities with the Analytic Hierarchy Process. European Journal of Operational Research, 108(1), 165–169.
- Hwang, C.-L.; Yoon, K. (1981). Multiple Attribute Decision Making: Methods and Applications. Springer.
- Kalman, R. E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of Basic Engineering, 82(1), 35–45.
- Linacre, J. M. (1989). Many-Facet Rasch Measurement. MESA Press.
- Saaty, T. L. (1977). A scaling method for priorities in hierarchical structures. Journal of Mathematical Psychology, 15(3), 234–281.
- Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. McGraw-Hill.
- Shannon, C. E. (1948). A mathematical theory of communication. Bell System Technical Journal, 27(3), 379–423.
- Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of measurement. Science, 103(2684), 677–680.